Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων:

3/4 Χ 5/8

Γίνεται ένα νέο κλάσμα, με αριθμητή το γινόμενο των δύο αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των δύο αριθμητών. Δηλαδή:

3/4 Χ 5/8 = 3 Χ 5 / 4 Χ 8 = 15 / 32

Σύγκριση γινομένων με το 1

• Αν το κάθε ένα από τα δύο κλάσματα είναι μικρότερο από το 1, τότε και το γινόμενό τους θα είναι μικρότερο από το 1.

π.χ. 5/6 <1 και 6/7<1, τότε 5/6 Χ 6/7 <1

• Αν το κάθε ένα από τα δύο κλάσματα είναι μεγαλύτερο από το 1, τότε και το γινόμενό τους θα είναι μεγαλύτερο από το 1.

π.χ. 6/3>1 και 12/7>1, τότε 6/3 Χ 12/7 >1

• Αν το ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1 και το άλλο κλάσμα μικρότερο από το 1, τότε δεν μπορώ να βγάλω συμπέρασμα. Θα κάνω τους πολλαπλασιασμούς, θα βρω το νέο κλάσμα και τότε θα κρίνω αν είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το 1.

π.χ. 4/5 Χ 6/3 = 24/15 > 1

• Αν το ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1 και το άλλο κλάσμα μικρότερο από το 1, κάνω τους πολλαπλασιασμούς, βρίσκω το νέο κλάσμα κι αν αυτό έχει ίδιο αριθμητή και παρονομαστή, τότε ισούται με το 1.

π.χ. 4/5 Χ 5/4 = 20/20 = 1

Διαίρεση κλασμάτων:

4/5 : 3/7

Κάνω δύο αναποδογυρίσματα.
Πρώτα αναποδογυρίζω το σύμβολο της διαίρεσης και γράφω το σύμβολο του πολλαπλασιασμού.
Μετά αναποδογυρίζω το δεύτερο κλάσμα.

Δηλαδή:

4/5 : 3/7 = 4/5 Χ 7/3

Στη συνέχεια εκτελώ κανονικά την πράξη του πολλαπλασιασμού.

Βιβλία για γονείς

Ο Σχολικός Σύμβουλος της περιφέρειάς μας προτείνει κάποια βιβλία για γονείς. Αν και δεν τα έχω διαβάσει, σας τα παραθέτω γιατί εμπιστεύομαι απόλυτα την κρίση του:

Εκπαιδεύοντας τα παιδιά - Όρια στην παιδική παντοδυναμία
Aldo Naouri, Μτφρ. Χριστιάννα Σαμαρά
Εκδόσεις Κέλευθος 2012 , τιμή € 17, σελ. 405

Το μανιφέστο της χαρούμενης παιδικής ηλικίας
Carl Honoré, Μτφρ. Άλκηστη Κελεσίδη
Εκδόσεις Αερόστατο, 2010, τιμή € 19, σελ. 448

Τα παιδιά δεν θέλουν ψυχολόγο. Γονείς θέλουν!

Νίκος Σιδέρης

Εκδόσεις Μεταίχμιο, 2009, τιμή € 10, σελ. 144

Μπαμπά, μαμά, δάσκαλε Αξίζω  – Αυτοεκτίμηση και παιδική ηλικία

Βίκυ Σίμου

Εκδόσεις Καλέντης, 2012, τιμή € 18, σελ. 250

Εισόδια της Θεοτόκου-Φωτογραφίες

Απολαύστε τις σημερινές φωτογραφίες.

Διαγωνισμός μηχανικής

Διαβάστε περισσότερα εδώ κι αν σας αρέσει, μπορούμε να συμμετάσχουμε.

Μετατροπή μικτού αριθμού σε κλάσμα και το αντίστροφο

---

Μετατροπή κλάσματος σε μεικτό αριθμό

1. Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

2. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος του μικτού.

3. Το κλάσμα του μεικτού έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον ίδιο με το αρχικό κλάσμα.

---

Παράδειγμα

---

---

---

Μετατροπή μεικτού αριθμού σε κλάσμα

1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μεικτού με τον παρονομαστή του κλάσματός του.

2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μικτού αριθμού.

3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.

---

Παράδειγμα

Ισότητες με κλάσματα

3/5 + .............. = 1

Έχω να λύσω αυτή την ισότητα.

πρώτο βήμα:

αντικαθιστώ το 1 με ένα κλάσμα που να με βολεύει. Δηλαδή, ένα κλάσμα που θα έχει παρονομαστή το 5. Άρα 1 = 5/5 .

Έτσι, η ισότητα γίνεται:

3/5 + ............... = 5/5

Ο αριθμός που ψάχνω είναι ένα κλάσμα, που θα έχει παρονομαστή το 5 και αριθμητή όσο χρειάζεται να προσθέσω στο 3 για να γίνει 5. Άρα, το κλάσμα που ψάχνω είναι το 2/5.

Πράγματι, 3/5 + 2/5 = 5/5.

Το ίδιο μπορεί να γίνει και στην αφαίρεση.

23/12 - .............. = 1

23/12 - .............. = 12/12

23/12 - 11/12 = 12/12


Κάποιες φορές, αντί για 1, μπορεί να έχω οποιονδήποτε άλλο αριθμό.

π.χ. 3/5 + .......... = 4

Τότε, θα πρέπει να μετατρέψω το 4 σε κλάσμα με παρονομαστή το 5.        4 = 20/5

Και μετά λύνω την ισότητα:

3/5 + ......... = 20/5

3/5 + 17/5 = 20/5

Σύγκριση κλασμάτων με το νου

Πρέπει να συγκρίνω (<,>,=) τρία κλάσματα. Τα: 1/8 και 6/13 και 78/79. 

Αντί να κάνω τα κλάσματα ομώνυμα ή να κάνω τη διαίρεση για να βρω τον δεκαδικό αριθμό που αντιστοιχεί στο κάθε κλάσμα, μπορώ να κάνω τη σύγκριση με τη βοήθεια της αριθμογραμμής.

Παρατηρώ ότι το ένα κλάσμα βρίσκεται κοντά στο 0, το άλλο κοντά στο 1/2 (μισό) και το άλλο στο 1. 

Το κλάσμα που έχει σχεδόν ίδιους αριθμούς σε αριθμητή και παρονομαστή είναι κοντά στο 1. 

π.χ. 76/77 ή 123/142 ή 89/91

Το κλάσμα που έχει αριθμητή σχεδόν διπλάσιο από τον παρονομαστή είναι κοντά στο 1/2 (μισό).

π.χ. 25/51 ή 45/98 ή 32/67

Το κλάσμα που έχει αριθμητή πολύ μικρότερο του παρονομαστή είναι κοντά στο 0.

π.χ. 8/789 ή 12/456 ή 2/9

Σύγκριση κλασμάτων

Για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα με διαφορετικό παρονομαστή (ετερώνυμα), μπορώ είτε να τα κάνω ομώνυμα (ίδιος παρονομαστής) όπως μάθαμε πέρσι είτε να διαιρέσω αριθμητή διά παρονομαστή. Έτσι, θα βρω ένα δεκαδικό αριθμό και θα μπορέσω να τα συγκρίνω. 

Υπάρχει όμως και πολύ πιο γρήγορος τρόπος. Να τα συγκρίνω σε σχέση με το 1 και μετά μεταξύ τους.

Θυμίζω: 

• αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο του 1. π.χ. 5/6 < 1
• αν ο αριθμητής είναι ίσος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι ίσο με το 1. 
  π.χ. 6/6 = 1
• αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 1. 

  π.χ. 8/6 > 1

Επομένως, όταν πρέπει να συγκρίνω τα κλάσματα 4/5 και 8/7, βλέπω ότι το 4/5 είναι μικρότερο του 1 και το 8/7 μεγαλύτερο του 1. Οπότε, χωρίς να τα κάνω ομώνυμα ή να τα διαιρέσω (4/5=0,8 και 8/7=1,143), μπορώ να πω με σιγουριά ότι 4/5 < 8/7.

Παραδείγματα:

5/6 < 234/123 (αφού το πρώτο είναι μικρότερο του 1 και το δεύτερο μεγαλύτερο του 1).

78/34 > 12/89 (αφού το πρώτο είναι μεγαλύτερο του 1 και το δεύτερο μικρότερο του 1)

78/78 = 34/34 (αφού και τα δύο είναι ίσα με το 1)

Μέσος όρος - προβλήματα

Κατά μέσο όρο, ο Λευτέρης παίρνει 1,2 δεκαράκια την ημέρα. Αν τη Δευτέρα πήρε 2, την Τρίτη  και την Τετάρτη από 1 και την Πέμπτη δεν πήρε κανένα, πόσα δεκαράκια πήρε την Παρασκευή;

Γράφω το κλάσμα του μέσου όρου, βάζοντας .... στον αριθμό που ψάχνω να βρω:

2+1+1+0+ .... / 5 = 1,2

Λύνω την ισότητα:

...... + 4 / 5 = 1,2

Στέλνω με πολλαπλασιασμό το / 5 στο δεύτερο μέρος της ισότητας:

...... + 4 = 1,2 Χ 5

...... + 4 = 6

Διώχνω με αφαίρεση το +4 στο δεύτερο μέρος της ισότητας:

....... = 6 - 4

....... = 2

Άρα, βρήκα ότι ο Λευτέρης πήρε 2 δεκαράκια την Παρασκευή.

Μέσος όρος

Τη Δευτέρα έφαγα 10 κεράσια, την Τρίτη 12 και την Τετάρτη 21. Πόσα κεράσια έφαγα κατά μέσο όρο;

Για να βρω τον μέσο όρο, προσθέτω τα νούμερα (10+12+21=43) και τα διαιρώ με το πόσα νούμερα είναι (3 στη δική μας περίπτωση). Άρα 43/3=14,333.

Συνήθως, το αποτέλεσμα μιας τέτοιας άσκησης είναι δεκαδικός αριθμός. Σταματώ τη διαίρεση στα τρία δεκαδικά ψηφία.

Στρογγυλοποίηση με αύξηση

Έχω να στρογγυλοποιήσω τον αριθμό 695 στις δεκάδες. Επειδή μετά το 9 ακολουθεί ο αριθμός 5, το 9 πρέπει να αυξηθεί κατά 1 και να γίνει 10. Σε αυτές τις περιπτώσεις, γράφω το 0 στις δεκάδες και το κρατούμενο 1 θα προστεθεί στο 6. Άρα, το 695 θα γίνει 700.

Αντίστοιχα, όταν στρογγυλοποιώ το 1.298 στις δεκάδες θα γίνει 1.300. 

Στρογγυλοποίηση αριθμών

Θυμάμαι τις θέσεις των ψηφίων:


εκατοντάδες   δεκάδες   μονάδες  ,    δέκατα   εκατοστά   χιλιοστά



Στρογγυλοποίηση:

Κάθε αντίστοιχη άσκηση, μου δείχνει πού θα γίνει η στρογγυλοποίηση. Π.χ. στρογγυλοποιώ τον αριθμό 34,562 στα δέκατα. Σημειώνω τα δέκατα: 34,562

Βάζω μηδέν σε όλα τα νούμερα που βρίσκονται δεξιά από το 5 και αφήνω ίδια όλα τα νούμερα που βρίσκονται αριστερά από το 5. ->  34,500

Στη συνέχεια, κοιτάω το νούμερο που βρίσκεται αμέσως δεξιά από το 5 στον αρχικό αριθμό. Στην περίπτωσή μας, αμέσως δεξιά από το 5 βρίσκεται το 6.

Αν ο δεξιός αριθμός είναι το 0 ή το 1 ή το 2 ή το 3 ή το 4, τότε το 5 παραμένει χωρίς να αλλάξει.

 Αν ο δεξιός αριθμός είναι το 5 ή το 6 ή το 7 ή το 8 ή το 9, τότε το 5 αυξάνει κατά 1.

Παραδείγματα:

στρογγυλοποιώ στα χιλιοστά:  1,4578 -> 1,4580=1,458

στρογγυλοποιώ στα δέκατα:  5,789 -> 5,800=5,8

στρογγυλοποιώ στις μονάδες:  23,45 -> 23,00=23

στρογγυλοποιώ στις εκατοντάδες:  323,78 -> 300,00=300

Ισοδύναμα κλάσματα

1)
Για να ελέγξω αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, πολλαπλασιάζω χιαστί τους αριθμούς. Αν προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα, τότε είναι. Αν όχι, τότε δεν είναι ισοδύναμα.

Π.χ.  4/5  και 8/10

Πολλαπλασιάζω χιαστί:

4 Χ 10 = 40

και

5 Χ 8 = 40

Άρα τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα.

2) Αν έχω ένα κλάσμα και θέλω να φτιάξω ένα ισοδύναμό του, πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.

Π.χ. έχω το κλάσμα 5/6

πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με το 2.

Άρα 5/6 = 10/12


3) Αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα και λείπει ένας όρος του κλάσματος, π.χ.:

5/..... = 10/24

Πολλαπλασιάζω χιαστί και προκύπτουν δύο γινόμενα:

10 Χ .... και 5 Χ 24

Πολλαπλασιάζω 5 Χ 24 = 120

και μετά διαιρώ το 120 με το 10

120 : 10 = 12

Άρα, το άγνωστο νούμερο είναι το 12.

Θεωρία προβλημάτων αναγωγής στην κλασματική μονάδα

Πρόβλημα:
Τα 4/9 του τάπερ ζυγίζουν 220 γραμμάρια. Πόσο ζυγίζει όλο το τάπερ;

Ουσιαστικά πρόκειται για ίδια προβλήματα με αυτά που ονομάζονται αναγωγής στη μονάδα, με μια μικρή διαφορά.


Θεωρία:
1ο βήμα: Πρέπει να βρω ποιο κλάσμα είναι "όλο το τάπερ". Αφού έχω χωρίσει το κλάσμα σε 9 κομμάτια, "όλο το τάπερ" είναι 9/9.

2ο βήμα: Αδιαφορώ πλέον για τους παρονομαστές. Το πρόβλημά μου γίνεται πλέον ως εξής:
τα 4 ζυγίζουν 220 γραμμάρια. Πόσο ζυγίζουν τα 9;

3ο βήμα: Διαιρώ 220 : 4 για να βρω πόσο ζυγίζει το 220 : 4 = 55. Άρα, το 1 ζυγίζει 55 γραμμάρια.

4ο βήμα: Πολλαπλασιάζω τα 55 γραμμάρια με το 9 για να βρω "όλο το τάπερ".

55 Χ 9 = 495 γραμμάρια

Για περαιτέρω διευκρινήσεις δείτε το βίντεο.

Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις με το 10, 100, 1.000 και 0,1, 0,01, 0,001

Στον πολλαπλασιασμό, μετακινώ την υποδιαστολή προς τα δεξιά. Τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά του 10, 100, 1.000, ...

π.χ. 3,456 Χ 100 = 345,6

Στη διαίρεση, μετακινώ την υποδιαστολή προς τα αριστερά. Τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά του 10, 100, 1.000, ...

π.χ. 3,456 : 100 = 0,03456

Όταν όμως πολλαπλασιάζω και διαιρώ με 0,1, 0,01, 0,001, τότε γίνεται η αντίθετη κίνηση. Δηλαδή στον πολλαπλασιασμό, η υποδιαστολή πάει αριστερά και στη διαίρεση δεξιά.

Άρα λοιπόν, όταν πολλαπλασιάζω με 0,1, 0,01, 0,001, μετρώ πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία και τόσες θέσεις μετακινώ προς τα αριστερά την υποδιαστολή.

π.χ. 3,456 Χ 0,01 = 0,03456

Ενώ όταν διαιρώ με 0,1, 0,01, 0,001, μετρώ πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία και τόσες θέσεις μετακινώ προς τα δεξιά την υποδιαστολή.

π.χ. 3,456 : 0,01 = 345,6

Διαίρεση δεκαδικών αριθμών

4,56 : 5,4 =

Σκοπός μου είναι να διώξω τις δύο υποδιαστολές. Αν το καταφέρω αυτό, θα έχω μείνει με μια "κανονική" διαίρεση με ακέραιους αριθμούς. 

Για να διώξω τις υποδιαστολές:

1. βλέπω πόσα δεκαδικά ψηφία έχει κάθε αριθμός. Ο 4,56 έχει δύο κι ο 5,4 έχει ένα.
2. Αν έχουν ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, τότε απλώς διαγράφω τις υποδιαστολές.
3. Αν έχουν διαφορετικό αριθμό (όπως στο παράδειγμά μας), προσθέτω μηδενικά ώστε να έχουν ίδιο αριθμό δεκαδικών. Δηλαδή, για να αποκτήσει ο 5,4 δύο δεκαδικά ψηφία, προσθέτω ένα μηδενικό και γίνεται 5,40. Οπότε, οι δύο αριθμοί έχουν ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων και μπορώ να διαγράψω τις υποδιαστολές.

Παραδείγματα μετατροπής σε "κανονική" διαίρεση:

3,45 : 4,56 = 345 : 456

3,4 : 2,78 = 340 : 278

6,7414 : 4,94 = 67414 : 49400

Προσθέσεις-αφαιρέσεις δεκαδικών αριθμών

Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω δύο δεκαδικούς αριθμούς κάθετα, προσέχω να τοποθετήσω τις υποδιαστολές τη μία ακριβώς κάτω από την άλλη. Βάζω μηδέν (0) σε όποιο ψηφίο μείνει κενό.

Στη συνέχεια, κάνω την πράξη κανονικά, όπως έχω μάθει στους ακέραιους αριθμούς.

Π.χ.            4 , 6 7   -    2 , 3   =



                               4 , 6 7

                -         2 , 3  0
                        -------------
                          2 , 3  7
                   
         
                                  

Σύγκριση δεκαδικών αριθμών

Για να συγκρίνω δύο δεκαδικούς αριθμούς (3,54 και 3,7), πρώτα κοιτώ το ακέραιο τμήμα (3,54 και 3,7) και συγκρίνω σα να ήταν ακέραιοι αριθμοί. Αν το ακέραιο τμήμα είναι ίσο, προχωρώ στο δεκαδικό τμήμα. Για να γίνει η σύγκριση, θέλω να έχω τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Στο παράδειγμά μας, το 3,54 έχει δύο δεκαδικά ψηφία και το 3,7 έχει ένα. Οπότε, προσθέτω ένα μηδενικό στο 3,7, ώστε να έχει κι αυτό δύο δεκαδικά ψηφία (3,70). Πλέον, μπορώ να τα συγκρίνω. Αφού 70>54, 3,70>3,54, δηλαδή 3,7>3,54.

Δημιουργία ενδιάμεσου δεκαδικού αριθμού
Υπάρχει κάποιος δεκαδικός αριθμός ανάμεσα στο 4,57 και στο 4,58;
Προσθέτω ένα μηδενικό σε κάθε αριθμό: 4,570 και 4,580.
Ποιοι αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στο 70 και στο 80; Οι 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79.

Άρα, οι αριθμοί 4,571, 4,572, 4,573, 4,574, 4,575, 4,576, 4,577, 4,578, 4,579 βρίσκονται ανάμεσα στο 4,57 και στο 4,58. Αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ' άπειρον.

Θεωρία δεκαδικών και δεκαδικών κλασμάτων

Μετατροπές:
Για να μετατρέψω ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό (π.χ. 123 / 100), γράφω τον αριθμητή (123) και μετακινώ την υποδιαστολή από το τέλος του αριθμού (123, ) προς τα αριστερά. Τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά στον παρονομαστή του κλάσματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, δύο θέσεις αφού δύο μηδενικά έχει το 100. Άρα 123 / 100 = 1,23.

Για να μετατρέψω ένα δεκαδικό αριθμό σε κλάσμα (π.χ. 6,06), γράφω όλο τον αριθμό χωρίς υποδιαστολή στη θέση του αριθμητή (606 / ). Στη συνέχεια, μετράω πόσες δεκαδικές θέσεις έχει ο αριθμός (δύο στην περίπτωσή μας) και βάζω τόσα μηδενικά στον παρονομαστή.
Άρα, 6,06 = 606 / 100.



Θέσεις ψηφίων:

εκατοντάδες δεκάδες μονάδες , δέκατα εκατοστά χιλιοστά



Πώς διαβάζω ένα δεκαδικό αριθμό:

εξήντα και τέσσερα δέκατα

Το "και" αντιστοιχεί στην υποδιαστολή. Ο αριθμός που βρίσκεται αριστερά από το και τοποθετείται αριστερά της υποδιαστολής. Ο αριθμός που βρίσκεται δεξιά από το και τοποθετείται δεξιά της υποδιαστολής.

Προσοχή: εξήντα και δεκατέσσερα χιλιοστά γράφεται 60,014. Γράφω το 4 στη θέση των χιλιοστών και το 1 αριστερά του. Η κενή θέση γεμίζει με 0. 

Εκδήλωση στο Πλανητάριο

Φθινοπωρινή ισημερία στο Πλανητάριο