Κριτήρια διαιρετότητας 1

Για να βρω τους διαιρέτες ενός αριθμού δεν είναι απαραίτητο να κάνω άπειρες διαιρέσεις. Αν δηλαδή θέλω να βρω τους διαιρέτες του 356, δε θα αρχίσω να διαιρώ το 356 με όλους τους αριθμούς. Με το 2, με το 3, με το 4, με το 5, με το 6, με το 7...

Υπάρχουν κάποια κόλπα που με βοηθούν να αποφασίζω αν κάποιοι αριθμοί είναι διαιρέτες του αριθμού που με απασχολεί.

Έτσι, αν ο αριθμός:

• τελειώνει σε 0,2,4,6,8, τότε το 2 είναι διαιρέτης του.
• τελειώνει σε 0,5, τότε το 5 είναι διαιρέτης του.
• τελειώνει σε 0, τότε το 10 είναι διαιρέτης του.
• τελειώνει σε 00, τότε το 100 είναι διαιρέτης του.
• τελειώνει σε 000, τότε το 1.000 είναι διαιρέτης του.

Παραδείγματα:

Είναι το 5 διαιρέτης του 1.670; Ναι, επειδή το 1.670 τελειώνει σε 0.

Είναι το 2 διαιρέτης του 357; Όχι, επειδή το 357 δεν τελειώνει σε 0,2,4,6,8.

Είναι το 100 διαιρέτης του 1.670; Όχι, επειδή το 1.670 δεν τελειώνει σε 00.

Είναι το 10 διαιρέτης του 136; Όχι, επειδή το 136 δεν τελειώνει σε 0.

Πρόσθεση αφαίρεση κλασμάτων

Αν τα κλάσματα έχουν ίδιο παρονομαστή, τότε λέγονται ομώνυμα κι η πρόσθεση κι η αφαίρεση γίνεται πολύ εύκολα.

π.χ.  3/4 + 2/4 = 5/4

Αφήνω τον παρονομαστή ίδιο και προσθέτω ή αφαιρώ τους αριθμητές.

π.χ. 56/32 - 12/32 = 44/32

Προσοχή, οι παρονομαστές μένουν ίδιοι, δεν τους προσθέτω ή αφαιρώ.

Αν τα κλάσματα έχουν διαφορετικό παρονομαστή, τότε λέγονται ετερώνυμα και πρέπει να τα κάνω πρώτα ομώνυμα, πριν τα προσθέσω ή αφαιρέσω.

π.χ. 3/4 + 12/15

1) Βρίσκω το ΕΚΠ των παρονομαστών    
4    15  ] 2
2    15  ] 2
1    15  ] 3
1      5  ] 5
1      1            ΕΚΠ (4, 15) = 2Χ2Χ3Χ5 = 60

2) Διαιρώ ΕΚΠ διά τον κάθε παρονομαστή. Δηλαδή, 60 : 4 = 15 και 60 : 15 = 4

3) Σχηματίζω ένα καπελάκι U πάνω από κάθε κλάσμα και γράφω μέσα του το αποτέλεσμα της κάθε διαίρεσης. Δηλαδή, πάνω από το 3/4 γράφω 15 μέσα στο U και πάνω από το 12/15 γράφω 4 μέσα στο U.

4) Πολλαπλασιάζω το κλάσμα με τον αριθμό που είναι μέσα στο U. Έτσι το 3/4 θα πολλαπλασιαστεί με το 15 και θα γίνει 45/60. Προσοχή: πολλαπλασιάζω και αριθμητή και παρονομαστή.

5) Τα κλάσματα είναι πλέον ομώνυμα. Το 3/4 έγινε 45/60 και το 12/15 έγινε 48/60.

Τώρα μπορώ να τα προσθέσω. 45/60 + 48/60 = 93/60

Διαδοχικές διαιρέσεις

Για να βρω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο αριθμών, τους κάνω διαδοχικές διαιρέσεις με την παρακάτω μέθοδο:

Γράφω κάθετα τους αριθμούς που εξετάζω:

π.χ. 

  12       15       ]

Δεξιά από την κάθετη γραμμή γράφω τον μικρότερο αριθμό που διαιρεί ακριβώς έστω έναν από τους δύο αριθμούς. Στην περίπτωσή μας, το 12 διαιρείται από το 2.

  12     15        ]  2

Κάτω από το 12 γράφω το αποτέλεσμα της διαίρεσης 12 : 2. Κάτω από το 15 ξαναγράφω το 15, αφού η διαίρεση 15 : 2 δε γίνεται.

  12     15        ]  2

    6     15        ]  2  (Πάλι το 2, αφού η διαίρεση 6 : 2 γίνεται)

   3      15        ]  3 (ο μικρότερος αριθμός που διαιρεί κάποιον από τα 3 και 15 είναι το 3)

   1       5         ]  

Από τη στιγμή που μία στήλη φτάνει στον αριθμό 1, δεν ασχολούμαι άλλο με αυτή τη στήλη.

   1       5         ]  5 

   1       1         

Όταν κι οι δύο στήλες γίνουν 1, τότε έχω τελειώσει με τις διαδοχικές διαιρέσεις.

Στη συνέχεια πολλαπλασιάζω μεταξύ τους τα νούμερα που βρίσκονται δεξιά της κάθετης γραμμής.

Δηλαδή 2Χ2Χ2Χ3Χ5.

Επομένως ΕΚΠ (12, 15) = 2Χ2Χ2Χ3Χ5=120

Παραδείγματα:

ΕΚΠ (10, 14)

10      14  ] 2

 5        7   ] 5

 1        7   ] 7

 1        1   

Επομένως ΕΚΠ (10,14)=2Χ5Χ7=70

ΕΚΠ (9,24)

9            24 ] 2

9            12 ] 2

9             6  ] 2

9             3  ] 3

3             1  ] 3

1             1

Επομένως ΕΚΠ (9,24)=2Χ2Χ2Χ3Χ3=72

Διασκεδάστε βρίσκοντας τους αριθμούς που διαιρούν με το online παιχνίδι.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων:

3/4 Χ 5/8

Γίνεται ένα νέο κλάσμα, με αριθμητή το γινόμενο των δύο αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των δύο αριθμητών. Δηλαδή:

3/4 Χ 5/8 = 3 Χ 5 / 4 Χ 8 = 15 / 32

Σύγκριση γινομένων με το 1

• Αν το κάθε ένα από τα δύο κλάσματα είναι μικρότερο από το 1, τότε και το γινόμενό τους θα είναι μικρότερο από το 1.

π.χ. 5/6 <1 και 6/7<1, τότε 5/6 Χ 6/7 <1

• Αν το κάθε ένα από τα δύο κλάσματα είναι μεγαλύτερο από το 1, τότε και το γινόμενό τους θα είναι μεγαλύτερο από το 1.

π.χ. 6/3>1 και 12/7>1, τότε 6/3 Χ 12/7 >1

• Αν το ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1 και το άλλο κλάσμα μικρότερο από το 1, τότε δεν μπορώ να βγάλω συμπέρασμα. Θα κάνω τους πολλαπλασιασμούς, θα βρω το νέο κλάσμα και τότε θα κρίνω αν είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το 1.

π.χ. 4/5 Χ 6/3 = 24/15 > 1

• Αν το ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1 και το άλλο κλάσμα μικρότερο από το 1, κάνω τους πολλαπλασιασμούς, βρίσκω το νέο κλάσμα κι αν αυτό έχει ίδιο αριθμητή και παρονομαστή, τότε ισούται με το 1.

π.χ. 4/5 Χ 5/4 = 20/20 = 1

Διαίρεση κλασμάτων:

4/5 : 3/7

Κάνω δύο αναποδογυρίσματα.
Πρώτα αναποδογυρίζω το σύμβολο της διαίρεσης και γράφω το σύμβολο του πολλαπλασιασμού.
Μετά αναποδογυρίζω το δεύτερο κλάσμα.

Δηλαδή:

4/5 : 3/7 = 4/5 Χ 7/3

Στη συνέχεια εκτελώ κανονικά την πράξη του πολλαπλασιασμού.

Βιβλία για γονείς

Ο Σχολικός Σύμβουλος της περιφέρειάς μας προτείνει κάποια βιβλία για γονείς. Αν και δεν τα έχω διαβάσει, σας τα παραθέτω γιατί εμπιστεύομαι απόλυτα την κρίση του:

Εκπαιδεύοντας τα παιδιά - Όρια στην παιδική παντοδυναμία
Aldo Naouri, Μτφρ. Χριστιάννα Σαμαρά
Εκδόσεις Κέλευθος 2012 , τιμή € 17, σελ. 405

Το μανιφέστο της χαρούμενης παιδικής ηλικίας
Carl Honoré, Μτφρ. Άλκηστη Κελεσίδη
Εκδόσεις Αερόστατο, 2010, τιμή € 19, σελ. 448

Τα παιδιά δεν θέλουν ψυχολόγο. Γονείς θέλουν!

Νίκος Σιδέρης

Εκδόσεις Μεταίχμιο, 2009, τιμή € 10, σελ. 144

Μπαμπά, μαμά, δάσκαλε Αξίζω  – Αυτοεκτίμηση και παιδική ηλικία

Βίκυ Σίμου

Εκδόσεις Καλέντης, 2012, τιμή € 18, σελ. 250

Εισόδια της Θεοτόκου-Φωτογραφίες

Απολαύστε τις σημερινές φωτογραφίες.

Διαγωνισμός μηχανικής

Διαβάστε περισσότερα εδώ κι αν σας αρέσει, μπορούμε να συμμετάσχουμε.

Μετατροπή μικτού αριθμού σε κλάσμα και το αντίστροφο

---

Μετατροπή κλάσματος σε μικτό αριθμό

1. Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

2. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος του μικτού.

3. Το κλάσμα του μικτού έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον ίδιο με το αρχικό κλάσμα.

---

Παράδειγμα

---

---

---

Μετατροπή μικτού αριθμού σε κλάσμα

1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μικτού με τον παρονομαστή του κλάσματός του.

2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μικτού αριθμού.

3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.

---

Παράδειγμα

Ισότητες με κλάσματα

3/5 + .............. = 1

Έχω να λύσω αυτή την ισότητα.

πρώτο βήμα:

αντικαθιστώ το 1 με ένα κλάσμα που να με βολεύει. Δηλαδή, ένα κλάσμα που θα έχει παρονομαστή το 5. Άρα 1 = 5/5 .

Έτσι, η ισότητα γίνεται:

3/5 + ............... = 5/5

Ο αριθμός που ψάχνω είναι ένα κλάσμα, που θα έχει παρονομαστή το 5 και αριθμητή όσο χρειάζεται να προσθέσω στο 3 για να γίνει 5. Άρα, το κλάσμα που ψάχνω είναι το 2/5.

Πράγματι, 3/5 + 2/5 = 5/5.

Το ίδιο μπορεί να γίνει και στην αφαίρεση.

23/12 - .............. = 1

23/12 - .............. = 12/12

23/12 - 11/12 = 12/12


Κάποιες φορές, αντί για 1, μπορεί να έχω οποιονδήποτε άλλο αριθμό.

π.χ. 3/5 + .......... = 4

Τότε, θα πρέπει να μετατρέψω το 4 σε κλάσμα με παρονομαστή το 5.        4 = 20/5

Και μετά λύνω την ισότητα:

3/5 + ......... = 20/5

3/5 + 17/5 = 20/5

Σύγκριση κλασμάτων με το νου

Πρέπει να συγκρίνω (<,>,=) τρία κλάσματα. Τα: 1/8 και 6/13 και 78/79. 

Αντί να κάνω τα κλάσματα ομώνυμα ή να κάνω τη διαίρεση για να βρω τον δεκαδικό αριθμό που αντιστοιχεί στο κάθε κλάσμα, μπορώ να κάνω τη σύγκριση με τη βοήθεια της αριθμογραμμής.

Παρατηρώ ότι το ένα κλάσμα βρίσκεται κοντά στο 0, το άλλο κοντά στο 1/2 (μισό) και το άλλο στο 1. 

Το κλάσμα που έχει σχεδόν ίδιους αριθμούς σε αριθμητή και παρονομαστή είναι κοντά στο 1. 

π.χ. 76/77 ή 123/142 ή 89/91

Το κλάσμα που έχει αριθμητή σχεδόν διπλάσιο από τον παρονομαστή είναι κοντά στο 1/2 (μισό).

π.χ. 25/51 ή 45/98 ή 32/67

Το κλάσμα που έχει αριθμητή πολύ μικρότερο του παρονομαστή είναι κοντά στο 0.

π.χ. 8/789 ή 12/456 ή 2/9

Σύγκριση κλασμάτων

Για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα με διαφορετικό παρονομαστή (ετερώνυμα), μπορώ είτε να τα κάνω ομώνυμα (ίδιος παρονομαστής) όπως μάθαμε πέρσι είτε να διαιρέσω αριθμητή διά παρονομαστή. Έτσι, θα βρω ένα δεκαδικό αριθμό και θα μπορέσω να τα συγκρίνω. 

Υπάρχει όμως και πολύ πιο γρήγορος τρόπος. Να τα συγκρίνω σε σχέση με το 1 και μετά μεταξύ τους.

Θυμίζω: 

• αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο του 1. π.χ. 5/6 < 1
• αν ο αριθμητής είναι ίσος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι ίσο με το 1. 
  π.χ. 6/6 = 1
• αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 1. 

  π.χ. 8/6 > 1

Επομένως, όταν πρέπει να συγκρίνω τα κλάσματα 4/5 και 8/7, βλέπω ότι το 4/5 είναι μικρότερο του 1 και το 8/7 μεγαλύτερο του 1. Οπότε, χωρίς να τα κάνω ομώνυμα ή να τα διαιρέσω (4/5=0,8 και 8/7=1,143), μπορώ να πω με σιγουριά ότι 4/5 < 8/7.

Παραδείγματα:

5/6 < 234/123 (αφού το πρώτο είναι μικρότερο του 1 και το δεύτερο μεγαλύτερο του 1).

78/34 > 12/89 (αφού το πρώτο είναι μεγαλύτερο του 1 και το δεύτερο μικρότερο του 1)

78/78 = 34/34 (αφού και τα δύο είναι ίσα με το 1)

Μέσος όρος - προβλήματα

Κατά μέσο όρο, ο Λευτέρης παίρνει 1,2 δεκαράκια την ημέρα. Αν τη Δευτέρα πήρε 2, την Τρίτη  και την Τετάρτη από 1 και την Πέμπτη δεν πήρε κανένα, πόσα δεκαράκια πήρε την Παρασκευή;

Γράφω το κλάσμα του μέσου όρου, βάζοντας .... στον αριθμό που ψάχνω να βρω:

2+1+1+0+ .... / 5 = 1,2

Λύνω την ισότητα:

...... + 4 / 5 = 1,2

Στέλνω με πολλαπλασιασμό το / 5 στο δεύτερο μέρος της ισότητας:

...... + 4 = 1,2 Χ 5

...... + 4 = 6

Διώχνω με αφαίρεση το +4 στο δεύτερο μέρος της ισότητας:

....... = 6 - 4

....... = 2

Άρα, βρήκα ότι ο Λευτέρης πήρε 2 δεκαράκια την Παρασκευή.

Μέσος όρος

Τη Δευτέρα έφαγα 10 κεράσια, την Τρίτη 12 και την Τετάρτη 21. Πόσα κεράσια έφαγα κατά μέσο όρο;

Για να βρω τον μέσο όρο, προσθέτω τα νούμερα (10+12+21=43) και τα διαιρώ με το πόσα νούμερα είναι (3 στη δική μας περίπτωση). Άρα 43/3=14,333.

Συνήθως, το αποτέλεσμα μιας τέτοιας άσκησης είναι δεκαδικός αριθμός. Σταματώ τη διαίρεση στα τρία δεκαδικά ψηφία.

Στρογγυλοποίηση με αύξηση

Έχω να στρογγυλοποιήσω τον αριθμό 695 στις δεκάδες. Επειδή μετά το 9 ακολουθεί ο αριθμός 5, το 9 πρέπει να αυξηθεί κατά 1 και να γίνει 10. Σε αυτές τις περιπτώσεις, γράφω το 0 στις δεκάδες και το κρατούμενο 1 θα προστεθεί στο 6. Άρα, το 695 θα γίνει 700.

Αντίστοιχα, όταν στρογγυλοποιώ το 1.298 στις δεκάδες θα γίνει 1.300. 

Στρογγυλοποίηση αριθμών

Θυμάμαι τις θέσεις των ψηφίων:


εκατοντάδες   δεκάδες   μονάδες  ,    δέκατα   εκατοστά   χιλιοστά



Στρογγυλοποίηση:

Κάθε αντίστοιχη άσκηση, μου δείχνει πού θα γίνει η στρογγυλοποίηση. Π.χ. στρογγυλοποιώ τον αριθμό 34,562 στα δέκατα. Σημειώνω τα δέκατα: 34,562

Βάζω μηδέν σε όλα τα νούμερα που βρίσκονται δεξιά από το 5 και αφήνω ίδια όλα τα νούμερα που βρίσκονται αριστερά από το 5. ->  34,500

Στη συνέχεια, κοιτάω το νούμερο που βρίσκεται αμέσως δεξιά από το 5 στον αρχικό αριθμό. Στην περίπτωσή μας, αμέσως δεξιά από το 5 βρίσκεται το 6.

Αν ο δεξιός αριθμός είναι το 0 ή το 1 ή το 2 ή το 3 ή το 4, τότε το 5 παραμένει χωρίς να αλλάξει.

 Αν ο δεξιός αριθμός είναι το 5 ή το 6 ή το 7 ή το 8 ή το 9, τότε το 5 αυξάνει κατά 1.

Παραδείγματα:

στρογγυλοποιώ στα χιλιοστά:  1,4578 -> 1,4580=1,458

στρογγυλοποιώ στα δέκατα:  5,789 -> 5,800=5,8

στρογγυλοποιώ στις μονάδες:  23,45 -> 23,00=23

στρογγυλοποιώ στις εκατοντάδες:  323,78 -> 300,00=300

Ισοδύναμα κλάσματα

1)
Για να ελέγξω αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, πολλαπλασιάζω χιαστί τους αριθμούς. Αν προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα, τότε είναι. Αν όχι, τότε δεν είναι ισοδύναμα.

Π.χ.  4/5  και 8/10

Πολλαπλασιάζω χιαστί:

4 Χ 10 = 40

και

5 Χ 8 = 40

Άρα τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα.

2) Αν έχω ένα κλάσμα και θέλω να φτιάξω ένα ισοδύναμό του, πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.

Π.χ. έχω το κλάσμα 5/6

πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με το 2.

Άρα 5/6 = 10/12


3) Αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα και λείπει ένας όρος του κλάσματος, π.χ.:

5/..... = 10/24

Πολλαπλασιάζω χιαστί και προκύπτουν δύο γινόμενα:

10 Χ .... και 5 Χ 24

Πολλαπλασιάζω 5 Χ 24 = 120

και μετά διαιρώ το 120 με το 10

120 : 10 = 12

Άρα, το άγνωστο νούμερο είναι το 12.

Θεωρία προβλημάτων αναγωγής στην κλασματική μονάδα

Πρόβλημα:
Τα 4/9 του τάπερ ζυγίζουν 220 γραμμάρια. Πόσο ζυγίζει όλο το τάπερ;

Ουσιαστικά πρόκειται για ίδια προβλήματα με αυτά που ονομάζονται αναγωγής στη μονάδα, με μια μικρή διαφορά.


Θεωρία:
1ο βήμα: Πρέπει να βρω ποιο κλάσμα είναι "όλο το τάπερ". Αφού έχω χωρίσει το κλάσμα σε 9 κομμάτια, "όλο το τάπερ" είναι 9/9.

2ο βήμα: Αδιαφορώ πλέον για τους παρονομαστές. Το πρόβλημά μου γίνεται πλέον ως εξής:
τα 4 ζυγίζουν 220 γραμμάρια. Πόσο ζυγίζουν τα 9;

3ο βήμα: Διαιρώ 220 : 4 για να βρω πόσο ζυγίζει το 220 : 4 = 55. Άρα, το 1 ζυγίζει 55 γραμμάρια.

4ο βήμα: Πολλαπλασιάζω τα 55 γραμμάρια με το 9 για να βρω "όλο το τάπερ".

55 Χ 9 = 495 γραμμάρια

Για περαιτέρω διευκρινήσεις δείτε το βίντεο.

Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις με το 10, 100, 1.000 και 0,1, 0,01, 0,001

Στον πολλαπλασιασμό, μετακινώ την υποδιαστολή προς τα δεξιά. Τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά του 10, 100, 1.000, ...

π.χ. 3,456 Χ 100 = 345,6

Στη διαίρεση, μετακινώ την υποδιαστολή προς τα αριστερά. Τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά του 10, 100, 1.000, ...

π.χ. 3,456 : 100 = 0,03456

Όταν όμως πολλαπλασιάζω και διαιρώ με 0,1, 0,01, 0,001, τότε γίνεται η αντίθετη κίνηση. Δηλαδή στον πολλαπλασιασμό, η υποδιαστολή πάει αριστερά και στη διαίρεση δεξιά.

Άρα λοιπόν, όταν πολλαπλασιάζω με 0,1, 0,01, 0,001, μετρώ πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία και τόσες θέσεις μετακινώ προς τα αριστερά την υποδιαστολή.

π.χ. 3,456 Χ 0,01 = 0,03456

Ενώ όταν διαιρώ με 0,1, 0,01, 0,001, μετρώ πόσα είναι τα δεκαδικά ψηφία και τόσες θέσεις μετακινώ προς τα δεξιά την υποδιαστολή.

π.χ. 3,456 : 0,01 = 345,6

Διαίρεση δεκαδικών αριθμών

4,56 : 5,4 =

Σκοπός μου είναι να διώξω τις δύο υποδιαστολές. Αν το καταφέρω αυτό, θα έχω μείνει με μια "κανονική" διαίρεση με ακέραιους αριθμούς. 

Για να διώξω τις υποδιαστολές:

1. βλέπω πόσα δεκαδικά ψηφία έχει κάθε αριθμός. Ο 4,56 έχει δύο κι ο 5,4 έχει ένα.
2. Αν έχουν ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, τότε απλώς διαγράφω τις υποδιαστολές.
3. Αν έχουν διαφορετικό αριθμό (όπως στο παράδειγμά μας), προσθέτω μηδενικά ώστε να έχουν ίδιο αριθμό δεκαδικών. Δηλαδή, για να αποκτήσει ο 5,4 δύο δεκαδικά ψηφία, προσθέτω ένα μηδενικό και γίνεται 5,40. Οπότε, οι δύο αριθμοί έχουν ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων και μπορώ να διαγράψω τις υποδιαστολές.

Παραδείγματα μετατροπής σε "κανονική" διαίρεση:

3,45 : 4,56 = 345 : 456

3,4 : 2,78 = 340 : 278

6,7414 : 4,94 = 67414 : 49400

Προσθέσεις-αφαιρέσεις δεκαδικών αριθμών

Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω δύο δεκαδικούς αριθμούς κάθετα, προσέχω να τοποθετήσω τις υποδιαστολές τη μία ακριβώς κάτω από την άλλη. Βάζω μηδέν (0) σε όποιο ψηφίο μείνει κενό.

Στη συνέχεια, κάνω την πράξη κανονικά, όπως έχω μάθει στους ακέραιους αριθμούς.

Π.χ.            4 , 6 7   -    2 , 3   =



                               4 , 6 7

                -         2 , 3  0
                        -------------
                          2 , 3  7
                   
         
                                  

Σύγκριση δεκαδικών αριθμών

Για να συγκρίνω δύο δεκαδικούς αριθμούς (3,54 και 3,7), πρώτα κοιτώ το ακέραιο τμήμα (3,54 και 3,7) και συγκρίνω σα να ήταν ακέραιοι αριθμοί. Αν το ακέραιο τμήμα είναι ίσο, προχωρώ στο δεκαδικό τμήμα. Για να γίνει η σύγκριση, θέλω να έχω τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Στο παράδειγμά μας, το 3,54 έχει δύο δεκαδικά ψηφία και το 3,7 έχει ένα. Οπότε, προσθέτω ένα μηδενικό στο 3,7, ώστε να έχει κι αυτό δύο δεκαδικά ψηφία (3,70). Πλέον, μπορώ να τα συγκρίνω. Αφού 70>54, 3,70>3,54, δηλαδή 3,7>3,54.

Δημιουργία ενδιάμεσου δεκαδικού αριθμού
Υπάρχει κάποιος δεκαδικός αριθμός ανάμεσα στο 4,57 και στο 4,58;
Προσθέτω ένα μηδενικό σε κάθε αριθμό: 4,570 και 4,580.
Ποιοι αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στο 70 και στο 80; Οι 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79.

Άρα, οι αριθμοί 4,571, 4,572, 4,573, 4,574, 4,575, 4,576, 4,577, 4,578, 4,579 βρίσκονται ανάμεσα στο 4,57 και στο 4,58. Αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ' άπειρον.

Θεωρία δεκαδικών και δεκαδικών κλασμάτων

Μετατροπές:
Για να μετατρέψω ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό (π.χ. 123 / 100), γράφω τον αριθμητή (123) και μετακινώ την υποδιαστολή από το τέλος του αριθμού (123, ) προς τα αριστερά. Τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά στον παρονομαστή του κλάσματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, δύο θέσεις αφού δύο μηδενικά έχει το 100. Άρα 123 / 100 = 1,23.

Για να μετατρέψω ένα δεκαδικό αριθμό σε κλάσμα (π.χ. 6,06), γράφω όλο τον αριθμό χωρίς υποδιαστολή στη θέση του αριθμητή (606 / ). Στη συνέχεια, μετράω πόσες δεκαδικές θέσεις έχει ο αριθμός (δύο στην περίπτωσή μας) και βάζω τόσα μηδενικά στον παρονομαστή.
Άρα, 6,06 = 606 / 100.



Θέσεις ψηφίων:

εκατοντάδες δεκάδες μονάδες , δέκατα εκατοστά χιλιοστά



Πώς διαβάζω ένα δεκαδικό αριθμό:

εξήντα και τέσσερα δέκατα

Το "και" αντιστοιχεί στην υποδιαστολή. Ο αριθμός που βρίσκεται αριστερά από το και τοποθετείται αριστερά της υποδιαστολής. Ο αριθμός που βρίσκεται δεξιά από το και τοποθετείται δεξιά της υποδιαστολής.

Προσοχή: εξήντα και δεκατέσσερα χιλιοστά γράφεται 60,014. Γράφω το 4 στη θέση των χιλιοστών και το 1 αριστερά του. Η κενή θέση γεμίζει με 0. 

Εκδήλωση στο Πλανητάριο

Φθινοπωρινή ισημερία στο Πλανητάριο

Ο καραγκιόζης, το φάντασμα του σαραγιού κι ο καπετάν Κίσσας

Απολαύστε την παράσταση:

πατήστε εδώ

Φωτογραφικό υλικό από την εκδήλωση:

εδώ

(σαν πολύ μαυρισμένοι έχετε βγει όλοι...)

Άγιος Πορφύριος ο μίμος

Ο Άγιος Πορφύριος γεννήθηκε από πατέρα μίμο (ηθοποιός, κωμικός, γελωτοποιός) και έκανε και αυτός το επάγγελμα του μίμου και έζησε στα χρόνια του Ιουλιανού του Παραβάτη (361 μ.Χ.).

Όταν κάποτε ο Ιουλιανός γιόρταζε τα γενέθλια του, ο Άγιος προστάχθηκε να μιμηθεί και να γελοιοποιήσει τα Μυστήρια των Χριστιανών. Τότε ο Άγιος Πορφύριος μπήκε στην κολυμβήθρα και φώναξε: «Βαπτίζεται Πορφύριος, εἰς τὸ ὄνομα τοῦ Πατρὸς καὶ τοῦ Υἱοῦ καὶ τοῦ Ἁγίου Πνεύματος» και όταν βγήκε από το νερό, φόρεσε λευκά ενδύματα και ομολόγησε μπροστά σ' όλο το κοινό που τον παρακολουθούσε, ότι είναι χριστιανός και είναι έτοιμος να πεθάνει για την αγάπη του Χριστού. Τότε ο βασιλιάς, εξαγριωμένος, διέταξε και τον αποκεφάλισαν.

Ο Άγιος Πορφύριος ο μίμος που εορτάζει στις 15 Σεπτεμβρίου κάθε έτους.

Ποια βιβλία μένουν κάτω από το θρανίο

Στο πλαίσιο της προσπάθειάς μας για ελαφριά σάκα, αναρτώ τη λίστα των βιβλίων που θα παραμένουν κάτω από το θρανίο και κατ' εξαίρεση θα έρχονται σπίτι.

Γλώσσα:

• όλα τα τετράδια
• λεξικό
• ανθολόγιο
• τετράδιο ανακοινώσεων

Μαθηματικά:

• βιβλίο μαθητή (χοντρό)

Φυσική:

• βιβλίο μαθητή (χοντρό)

Ιστορία:

• τίποτα

Γεωγραφία:

• Άτλαντας

Από τα υπόλοιπα βιβλία και τετράδια, στο θρανίο θα μένουν όσα δε χρειάζονται τη συγκεκριμένη ημέρα στο σπίτι. Έτσι έγινε και σήμερα. Αφήσαμε πολλά βιβλία στο σχολείο, αφού δεν τα χρειαζόμαστε στο σπίτι. Εξαίρεση τα βιβλία που δεν είχαν φορέσει ετικέτα και τα οποία επέστρεψαν για να ετοιμαστούν.

Θέατρο σκιών από τον Δημήτρη

Θα είμαστε όλοι εκεί!

Επανάληψη Μαθηματικών - Προβλήματα

Προβλήματα με αναγωγή στη μονάδα

Θυμάμαι τη θεωρία που είχα μάθει, διαβάζοντας εδώ.

Στη συνέχεια λύνω τα παρακάτω προβλήματα:

1) Η Ελίζα ψαρεύει 6 κιλά ψάρια σε 3 ώρες. Πόσα κιλά ψάρια θα ψαρέψει σε 7 ώρες;

2) Ο Νικόλας χρειάστηκε 7 εβδομάδες για να αλλάξει 2 ομάδες. Πόσες εβδομάδες θα χρειαστεί για να αλλάξει 5 ομάδες;

3) Ένα φακελάκι με τσάι του βουνού κοστίζει 60 λεπτά και μπορείς να φτιάξεις 3 φλιτζάνια. Πόσα λεπτά του ευρώ θα πληρώσω για να φτιάξω 5 φλιτζάνια;

Αντίστροφα προβλήματα

Θυμάμαι τη θεωρία:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Λύνω τα παρακάτω προβλήματα και μετά φτιάχνω δύο αντίστροφα προβλήματα  και τα λύνω:

v       Το πλοίο που πραγματοποιούσε το δρομολόγιο Πειραιάς – Ρέθυμνο  μετέφερε την Παρασκευή 1.675 επιβάτες (στοιχείο Α) και την Κυριακή στην επιστροφή του για Πειραιά, μετέφερε 2.146 (στοιχείο Β). Πόσοι επιβάτες ταξίδεψαν συνολικά στα δυο δρομολόγια;

Λ Υ Σ Η

1.675 + 2.146 = 3.821 (στοιχείο Γ)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Συνολικά ταξίδεψαν 3.821 επιβάτες.

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1:

(Στο αρχικό πρόβλημα, τα στοιχεία Α και Β ήταν γνωστά και έπρεπε να βρω το Γ. Τώρα, θα δώσω ως γνωστά στοιχεία το Α και το Γ και θα ζητάω το Β).

Το πλοίο που πραγματοποιούσε το δρομολόγιο Πειραιάς – Ρέθυμνο  μετέφερε την Παρασκευή 1.675 επιβάτες (στοιχείο Α), ενώ μαζί με το δεύτερο δρομολόγιο την Κυριακή, μετέφερε συνολικά 3.821 επιβάτες (στοιχείο Γ). Πόσους επιβάτες μετέφερε στο δρομολόγιο της Κυριακής; (στοιχείο Β)

Λ Υ Σ Η

3.821 – 1.675 = 2.146

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το δρομολόγιο της Κυριακής μετέφερε 2.146 επιβάτες.

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2:

(Τώρα, θα δώσω ως γνωστά στοιχεία το Β και το Γ και θα ζητάω το Α).

Το πλοίο που πραγματοποιούσε το δρομολόγιο Πειραιάς – Ρέθυμνο  μετέφερε την Κυριακή 2.146  επιβάτες (στοιχείο Β), ενώ μαζί με το δεύτερο δρομολόγιο την Παρασκευή, μετέφερε συνολικά 3.821 επιβάτες (στοιχείο Γ). Πόσους επιβάτες μετέφερε στο δρομολόγιο της Παρασκευής; (στοιχείο Α)

Λ Υ Σ Η

3.821 – 2.146 = 1.675

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το δρομολόγιο της Παρασκευής μετέφερε 1.675 επιβάτες.

Τώρα, λύνω το παρακάτω πρόβλημα και μετά γράφω 2 αντίστροφα προβλήματα και λύνω κι αυτά:

Αρχικό πρόβλημα:

Ο Θεοφάνης έχει 45 ευρώ κι ο Γρηγόρης 37. Πόσα ευρώ έχουν κι οι δύο μαζί;

Λύση:

Απάντηση:

1ο αντίστροφο πρόβλημα:

Λύση:

Απάντηση:

2ο αντίστροφο πρόβλημα:

Λύση:

Απάντηση:

Επανάληψη Μαθηματικών - Β' μέρος

Τέλεια κι ατελής διαίρεση

Στην τέλεια διαίρεση, το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην ατελή, συνεχίζω τη διαίρεση μέχρι το τρίτο δεκαδικό ψηφίο και σταματώ. Σε ένα φύλλο χαρτί ή στην παρακάτω ιστοσελίδα, γράψτε αριθμούς και κάντε όσο περισσότερες διαιρέσεις μπορείτε. Με μονοψήφιο (αρχικά) και με διψήφιο (αφού θυμηθείτε πώς γίνεται η πράξη) διαιρέτη στη συνέχεια. 

Εξάσκηση στις διαιρέσεις

                                         Διαιρέσεις με το νου με το 10, το 100, το 1.000

Μετράω πόσα μηδενικά έχει ο διαιρέτης (ένα το 10, δύο το 100, τρία το 1.000) και μετακινώ προς τα αριστερά την υποδιαστολή τόσες φορές. Για παράδειγμα, στη διαίρεση 

345,17 : 10 

δε χρειάζεται να πιάσω μολύβι και χαρτί. Μπορώ πανεύκολα και ταχύτατα να βρω το αποτέλεσμα με το μυαλό μου. Αφού το 10 έχει ένα μηδενικό, μετακινώ την υποδιαστολή μία θέση αριστερά. Οπότε, το αποτέλεσμα είναι 

34,517

Εξάσκηση:

65,324 : 100 = 

53,434 : 1.000 = 

53,434 : 100 = 

53,434 : 10 = 

2,34 : 100 =

2,34 : 10 = 

Πολλαπλασιασμός μεταξύ τριψήφιων αριθμών

Πρώτα, πρέπει να επαναλάβετε την προπαίδεια. Εξασκηθείτε σε εύκολους πολλαπλασιασμούς εδώ.

Δοκιμάστε και με τριψήφιους αριθμούς. Θυμηθείτε την επαλήθευση του πολλαπλασιασμού.

Επανάληψη στα Μαθηματικά της Δ' τάξης

Αγαπητά παιδιά κι αγαπητοί γονείς, 
τα Μαθηματικά της Ε' τάξης είναι πολύ απαιτητικά κι απολαυστικά. Για να προετοιμαστούμε όσο καλύτερα γίνεται, παραθέτω τις βασικές γνώσεις που κατακτήσαμε στην Δ' τάξη και τις οποίες καλό θα είναι να επαναλάβουμε στο δεκαήμερο που μεσολαβεί μέχρι να ξεκινήσουν τα μαθήματα:

• θέσεις των ψηφίων (μονάδες, δεκάδες, χιλιάδες...)
• προσθέσεις κι αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 1.000.000
• φτιάχνουμε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο τετραψήφιο αριθμό με συγκεκριμένα νούμερα που μας δίνει η άσκηση
• τέλεια κι ατελής διαίρεση (εννοείται ότι παίζουμε στα δάκτυλα την προπαίδεια, αλλιώς οι διαιρέσεις θα μας δυσκολεύουν πάρα πολύ)
• πρόσθεση κι αφαίρεση δεκαδικών αριθμών
• πράξεις με το ευρώ
• διαιρέσεις με το νου με το 10, το 100, το 1.000
• μονάδες μήκους, βάρους, χρόνου
• πολλαπλασιασμός μεταξύ τριψήφιων αριθμών
• αντίστροφα προβλήματα
• προβλήματα με αναγωγή στη μονάδα
• παράλληλες και τεμνόμενες ευθείες 
• εμβαδόν και περίμετρος σχήματος
• στερεά σώματα

Για την επανάληψη, μπορείτε να ανατρέξετε στα βιβλία της προηγούμενης χρονιάς (ελπίζω να μη βρίσκονται στο τζάκι ή στην ανακύκλωση). Να διαβάσετε πάλι τη θεωρία που γράψαμε μαζί, τις ασκήσεις που λύσαμε στο σχολείο και στο σπίτι, να ξαναλύσετε όλα τα διαγωνίσματα (τα έχετε κρατήσει?). Να και μερικές ακόμα επαναληπτικές ασκήσεις:

Θέσεις των ψηφίων (μονάδες, δεκάδες, χιλιάδες...)

Ποια είναι η αξία του ψηφίου 4 σε κάθε αριθμό;

10.348                                    ………………               49.381                         ………………

18,334 (δεκαδικός)               ………………           81,241 (δεκαδικός)        ………………

14.830                                    ………………

Γράψε έναν αριθμό με το 5 στη θέση:

των εκατοντάδων χιλιάδων: ………………

των δεκάδων: ………………

των δεκάδων χιλιάδων: ………………

των εκατοστών: ………………

των χιλιοστών: ………………

Προσθέσεις κι αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 1.000.000

Να γίνουν κάθετα οι πράξεις: 

345.789 + 123.456 = 

345.123 - 123.789 = 

Βάλε τους αριθμούς από το μεγαλύτερο στο μικρότερο:

34. 567 , 34.765, 34.675, 34.557, 34.677

……………… > ……………… > ……………… > ……………… > ……………… 

Συμπληρώνω τους αριθμούς:

       ……………… -1 830 +1 ………………

     ……………… -10 830 +10 ………………

   ……………… -100 830 +100 ………………

Φτιάχνουμε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο τετραψήφιο αριθμό με τα νούμερα που μας δίνει η άσκηση

Με τους αριθμούς 2,3,4,7,8,9, φτιάξε τον μεγαλύτερο και τον μικρότερο τετραψήφιο αριθμό που μπορείς:

μεγαλύτερος: ………………                                               μικρότερος: ……………… 

Φτιάξε τον μεγαλύτερο και τον μικρότερο τετραψήφιο αριθμό που υπάρχει:

μεγαλύτερος: ………………                                               μικρότερος: ……………… 

                                   Πρόσθεση κι αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Να γίνουν κάθετα οι πράξεις: (πολύ μεγάλη προσοχή στη σωστή κάθετη τοποθέτηση των αριθμών. Οι μονάδες μπαίνουν κάτω από τις μονάδες, οι υποδιαστολές το ίδιο, τα εκατοστά κάτω από τα εκατοστά...)

6,13 + 5,2 = 

7 - 5,43 =

12,3 + 4,05 = 

13,5 - 8 = 

Περισσότερες ασκήσεις τις επόμενες μέρες. Καλή επανάληψη!

Φωτογραφίες-Συμπληρωματικό αρχείο

Επιτέλους! Μαζί με την ειλικρινή μου συγγνώμη για την απαράδεκτη των 2,5 μηνών, απολαύστε τα πλήρη αρχεία των φωτογραφιών:

Πλανητάριο-Ευγενίδειο Ίδρυμα

Επίσκεψη στον Ιερό Βράχο της Ακρόπολης

Μουσείο Ακρόπολης

Αποκριάτικη εκδρομή

Κορωπί

Εκδρομή σοκολάτας

Κούνιες

Μπέμπης

Διάφορες

Φωτογραφίες σχολικής χρονιάς 2013-2014

Εκδρομή στο San Siro στο Κορωπί

https://www.dropbox.com/sh/0rap100i4a51g7f/AADlEsJeCWWUtBorFjsXwK46a


Επίσκεψη στον Ιερό Βράχο της Ακρόπολης (2.4.14)

https://www.dropbox.com/sh/2yqw1q7v3dlejxq/AABSrW4rl0Hjln4BgnBo8Guca


Απόκριες

https://www.dropbox.com/sh/f5495tf9edksg9j/AABjTtlSLKWvw48-NjaI-4PCa


Εκδρομή σοκολάτας

https://www.dropbox.com/sh/b3155d5lbf5f0o9/AADOB1hFmZ3N3AHzbdGc3ye8a


Μουσείο Ακρόπολης 8.5.14

https://www.dropbox.com/sh/u21nzzlrjxmh2b8/AABDR88ERjscoacrJJfVvRKIa


Εκδρομή στο Πλανητάριο

https://www.dropbox.com/sh/89z94b7jqsrfnfy/AACMH9M91kwNWND458UaYqK2a


Κούνιες

https://www.dropbox.com/sh/5w8tbsys9a2v5qx/AACQXOTyv76d2oniLQSdoyuda


Διάφορες

https://www.dropbox.com/sh/bq3df442no5z2pg/AABFryS8WN0HaeBQvBrpyXP5a


Bonus video:

Ο Υπουργός υπογράφει...

https://www.dropbox.com/s/hvfo5ks49pl14wp/P6060072.MOV


Δύο γονείς δεν προσήλθαν την Παρασκευή 13.6.14 για να παραλάβουν τους βαθμούς των παιδιών τους κι επομένως δεν έχουν υπογράψει τη δήλωση για το φωτογραφικό υλικό. Ως εκ τούτου, κάμποσες φωτογραφίες δεν έχουν συμπεριληφθεί στο υλικό που απολαμβάνετε αυτή τη στιγμή. Ευελπιστώ να διευθετηθεί αυτή η εκκρεμότητα και να μπουν σε κοινή θέα κι οι υπόλοιπες φωτογραφίες. Καλή απόλαυση!

11η Γιορτή Παιδιού Ι.Μ. Γλυφάδας, Ελληνικού, Βούλας, Βουλιαγμένης και Βάρης

Την Κυριακή το απόγευμα, από τις 18.30 μέχρι το βράδυ, παίζουμε, τρώμε και ξεφαντώνουμε στην ετήσια γιορτή της Μητρόπολής μας στην πλατεία Σμύρνης στο Ελληνικό. Σε μια ευρύχωρη καταπράσινη πλατεία, εθελοντές θα έχουν στήσει μια σειρά από σταθμούς με διάφορα παιχνίδια και δοκιμασίες. Παραδοσιακοί χοροί και σκετσάκια στην κεντρική σκηνή για τους μεγάλους, πίτσες, παγωτά και αναψυκτικά για όλους. Η είσοδος είναι (ασφαλώς) δωρεάν κι ο Βασιλάκης-Μάριος θα είναι εκεί.

Βίντεο από την περσινή εκδήλωση:
https://www.youtube.com/watch?v=7fz3WpHQ-9g

Ρεπορτάζ από την περσινή εκδήλωση:
http://www.dogma.gr/default.php?pname=Article&art_id=2822&catid=6

Πού είναι η πλατεία Σμύρνης; Ένα στενό μέσα από τον παράδρομο της παραλιακής λεωφόρου, πριν το παλιό αεροδρόμιο στο Ελληνικό. Αναζητήστε τη στη διεύθυνση www.ploigos.gr.

Μαθητής που απάντησε σε όλα σωστά… μηδενίστηκε!

1) Σε ποια μάχη σκοτώθηκε ο Λεωνίδας; Στην τελευταία του.

2) Πού υπογράφηκε η Διακήρυξη της Ανεξαρτησίας; Στο κάτω μέρος της σελίδας.

3) Ποια είναι η κύρια αιτία διαζυγίων; Ο γάμος.

4) Ποια είναι η κύρια αιτία της αποτυχίας; Οι εξετάσεις.

5) Τι μοιάζει περισσότερο με μισό μήλο; Το άλλο μισό.

6) Τι δεν μπορείς να φας ποτέ για πρωινό; Γεύμα και δείπνο.

7) Αν ρίξεις ένα βότσαλο σε μια λίμνη, τι θα συμβεί; Θα βραχεί.

8) Πώς μπορεί κάποιος να ζήσει 8 ημέρες άυπνος; Κανένα πρόβλημα. Θα κοιμάται τις νύχτες.

9) Πώς μπορείς να σηκώσεις έναν ελέφαντα με ένα χέρι; Δε θα βρεις ποτέ ένα μονόχειρα ελέφαντα.

10) Αν έχεις στο ένα χέρι 3 μήλα και 4 πορτοκάλια και στο άλλο χέρι 4 μήλα και 3 πορτοκάλια, τι έχεις; Πολύ μεγάλα χέρια.

11) Εάν πάρει 10 ώρες σε 8 άντρες να χτίσουν έναν τοίχο, πόση ώρα θα πάρει σε 4 άντρες για να τον χτίσουν; Μηδέν χρόνο, γιατί είναι ήδη χτισμένος.

12) Πώς μπορείς να πετάξεις ένα αυγό σε τσιμεντένιο πάτωμα χωρίς να το σπάσεις; Με όποιο τρόπο θέλεις, τα τσιμεντένια πατώματα δεν σπάζουν.

Λύσεις

1) Πολύ-πολλή-πολλοί-πολλές;

Έφαγα μια πολύ νόστιμη πίτσα και τώρα θα έχω πολλές απαιτήσεις από την πιτσαρία της γειτονιάς μου.

Μια πολύ ψηλή καμηλοπάρδαλη έφαγε φρούτα από το ψηλό δέντρο.

Πολλές φορές νιώθω πολλή μοναξιά.

Έκανα πολλή προσπάθεια να λύσω την άσκηση αλλά ήταν πολύ δύσκολη. Πολλοί συμμαθητές μου όμως τα κατάφεραν. Μπράβο τους!

"Πολλή κίνηση σήμερα στην Αθήνα. Έκανα πολλή ώρα να φτάσω στη δουλειά μου κι ήμουν πολύ ταλαιπωρημένη".

2) Βρες τον κανόνα στις αριθμητικές ακολουθίες:

4, 8, 12, 16, ....... προσθέτω 4

23, 19, 38, 34, 68, 64, ............. μείον 4, επί 2

10, 16, 22, 28, ........ προσθέτω 6